Pangkat, akar, log, persamaan

Pertemuan 2

Matematika Statistika

Pangkat

  • Pangkat merupakan suatu indeks yang menunjukkan banyaknya perkalian bilangan yang sama secara berurutan.

  • notasi \(x^a\) artinya bahwa sebuah bilangan \(x\) harus dikali dengan dirinya sendiri sebanyak \(a\) kali.

\(5^3=5 \times 5 \times 5\).

  • di beberapa program, pangkat menggunakan simbol \(\^\), sering disebut topi atau hat.

Kaidah pangkat

  1. \(x^0=1\)
  2. \(x^1=x\)
  3. \(0^a=0\)
  4. \(x^{-a}=\frac{1}{x^a}\)
  5. \(x^{\frac{1}{a}}=\sqrt[a]{x}\)
  1. \(x^{\frac{a}{b}}=\sqrt[b]{x^a}\)
  2. \({\left(\frac{x}{y}\right)}^a=\frac{x^a}{y^a}\)
  3. \(\left(x^a\right)^b=x^{ab}\)
  4. \(x^{a^b}=x^c,\) di mana \(c=a^b\)

Contoh pangkat

  1. \(3^0=1\)
  2. \(3^1=3\)
  3. \(0^5=0\)
  4. \(3^{-2}=\frac{1}{3^2}\)
  5. \(5^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{5}\)
  1. \(5^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{5^2}\)
  2. \({\left(\frac{3}{5}\right)}^2=\frac{3^2}{5^2}\)
  3. \(\left(3^5\right)^2=3^{5\times 2}\)
  4. \(3^{2^3}=x^8\)

Kaidah pangkat

  1. \(x^ax^b=x^{a+b}\)

  2. \(x^ay^a=(xy)^a\)

  3. \(x^a:x^b=x^{a-b}\)

  4. \(x^a:y^a=(\frac{x}{y})^a\)

Akar

  • Akar sebenernya adalah bagian dari pangkat.

\[ \text {jika } \sqrt[a]{m}=x, \text{ maka } x^a=m \]

  • di kalkulator atau program komputer, jika ingin melakukan operasi \(\sqrt[a]{m}\), maka kita ngetiknya m^(1/a). Buka kurung tutup kurung jangan lupa.

Kaidah akar

kaidah:

  1. \(\sqrt[b]{x}=x^{\frac{1}{b}}\)
  2. \(\sqrt[b]{x^a}=x^{\frac{a}{b}}\)
  3. \(\sqrt[b]{xy}=\sqrt[b]{x} \cdot \sqrt[b]{y}\)
  4. \(\sqrt[b]{\frac{x}{y}}=\frac{\sqrt[b]{x}}{\sqrt[b]{y}}\)

contoh:

  1. \(\sqrt[3]{5}=5^{\frac{1}{3}}\)
  2. \(\sqrt[3]{5^2}=5^{\frac{2}{3}}\)
  3. \(\sqrt[3]{5 \cdot 4}=\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{4}\)
  4. \(\sqrt[3]{\frac{2}{5}}=\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{5}}\)

Kaidah perkalian

  1. Perkalian hanya dapat dilakukan jika akar-akarnya berpangkat sama.

formal: \(\sqrt[b]{x} \cdot \sqrt[b]{y}=\sqrt[b]{xy}\)

contoh: \(\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{5}=\sqrt[b]{2 \cdot 5}=\sqrt[3]{10}\)

  1. akar \(b\) dari akar \(c\) adalah akar dari \(bc\).

formal: \(\sqrt[b]{\sqrt[c]{x^a}}=\sqrt[bc]{x^a}\)

contoh: \(\sqrt[3]{\sqrt[2]{7^5}}=\sqrt[3 \cdot 2]{7^5}\)

Kaidah pembagian

  1. Hasil bagi bilangan terakar adalah akar dari hasil bagi bilangan-bilangannya. Hanya dapat dilakukan jika akarnya berpangkat sama.

formal: \(\frac{\sqrt[b]{x}}{\sqrt[b]{y}}=\sqrt[b]{\frac{x}{y}}\)

contoh: \(\frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{7}}=\sqrt[3]{\frac{5}{7}}\)

Logaritma

logaritma pada intinya merupakan kebalikan dari proses pangkat dan/atau akar.

\[ \begin{aligned} x^a &= m \\ 5^3 &= 125 \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \sqrt[a]{m} &= x \\ \sqrt[3]{125} &= 5 \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \log_x {m} &= a \\ \log_5 {125} &= 3 \end{aligned} \]

  • 5 harus dipangkatkan berapa supaya jadi 125.

  • 5 (atau secara umum \(x\)) disebut dengan basis

Basis logaritma

\[ \log_x m=a \\ ^x \log m=a \]

  • Basis seringkali ditulis di belakang-atas, bisa juga di depan-bawah.

  • Basis dapat berupa bilangan positif apapun, tapi ada 2 basis yang paling umum:

  • Basis 10. Jika basis tidak ditulis biasanya berarti basis 10.

  • Basis \(e\), basis e ditulis juga dengan \(\ln\), disebut juga natural logarithm.

  • \(e\) sendiri artinya eksponensial. Di kalkulator kamu ditulis \(\exp\).

  • Di ekonomi, kita lebih sering pake \(\ln\) dan \(e\) daripada \(\log\).

Kaidah logaritma

  1. \(^x \log x = 1\)
  2. \(^x \log 1 = 0\)
  3. \(^x \log m = \text{undefined} \\ if\ m \le 0\)
  4. \(^x \log x^a=a\)
  5. \(\log_x m^a = a \ \log_x m\)
  1. \(x^{log_x m}=m\)
  2. \(\log_x mn = \log_x m + \log_x n\)
  3. \(\log_x \frac{m}{n}=\log_x m-\log_x n\)
  4. \(\log_x m \cdot loog_m x =1\)
  5. \(\log_x m \cdot \log_m n \cdot \log_n x=1\)

Contoh

  1. \(^8\log 8=1\)
  2. \(\log_8 1=0\) 3, \(\log_5 5^7=7\)
  3. \(^5\log 3^7=7 \times ^5\log 3\)
  4. \(5^{^5\lg 25}=25\)
  1. \(\log 1000 = ?\)
  2. \(\log_5 \frac{3}{7}=\log_5 3-\log_5 7\)
  3. \(\log_3 5 \cdot \log_5 3 =1\)
  4. \(\log_5 (3\times 7)=\log_5 3 + \log_5 7\)
  5. \(\log_3 5 \cdot \log_5 2 \cdot \log_2 3=1\)

Penjumlahan

penjumlahan/pengurangan untuk bilangan menempel/dikali dengan akar, pangkat dan log serta eksponen dapat kita lakukan selama pengalinya sama.

  1. \(m \sqrt[b]{x^a} \pm n \sqrt[b]{x^a}=(m \pm n)\sqrt[b]{x^a}\)

  2. \(m \cdot x^a \pm n x^a=(m \pm n)\cdot x^a\)

  3. \(m \log_a x+n \log_a x=(m\pm n) \log_a x\)

  4. \(m \cdot e^a+n \cdot e^a=(m\pm n) e^a\)

Persamaan

  • Ketika kita sedang mencari penyelesaian untuk satu variabel, kita ingin si variabel tersebut ada di kiri \(=\) sementara sisanya kita taruh di atas.

  • Kita akan memerlukan pemahaman ini untuk semua mata kuliah lain ke depannya.

  • Kita dapat menggunakan aturan-aturan di atas untuk menyelesaikan beberapa persamaan.

  • Kita juga dapat melakukan transformasi, asal transformasi tersebut dilakukan di kedua sisi \(=\)

Contoh soal

Carilah \(x\)

  1. \(x^3-15=12\)

  2. \(3-\sqrt[3]{x^2}=30\)

  3. \(4a-5b+3x=20\)

  4. \(2^{4x-6}=64\)

  5. \(\log (5x-50)=2\)

Note

  • Di ujian, anda harus coba selesaikan persamaan ini sejauh yang anda bisa, sesederhana mungkin.

  • Ada kalanya jawaban yang diharapkan akan tidak akan terlalu jauh.

  • Jawaban yang berakhir pecahan, pangkat atau log akan tetap dianggap benar.

Mingdep

  • Fungsi

  • Diagram kartesian