Fungsi dan penerapannya
Pertemuan 3
Matematika & Statistika
Bentuk umum & pengertian
Fungsi adalah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan/dependensi/fungsional antara 2 variabel atau lebih.
Fungsi dibentuk oleh 3 unsur, yaitu variabel, koefisien, dan konstanta.
Y=f(X)
artinya, variabel Y adalah fungsi dari variabel X. Atau, besarnya variabel Y ditentukan oleh besarnya variabel X, tapi tidak sebaliknya.
Pengertian & unsur
Variabel mencerminkan faktor tertentu. Sementara itu, koefisien dan konstanta adalah angka yang membentuk fungsi, mencerminkan bagaimana 2 variabel saling berhubungan.
- Konstanta hanya berhubungan ± dengan variabel, sementara koefisien berhubungan selain itu.
Variabel, seperti namanya, bisa bervariasi, alias berubah-ubah.Variabel sendiri adalah himpunan, sementara koefisien dan konstanta bukan.
Bentuk khusus/spesifik
Sebuah fungsi Y=f(X) bisa memiliki bentuk spesifik tertentu. Umumnya bentuk spesifik inilah yang akan kita selesaikan.
Misalnya, sebuah fungsi Y=f(X) memiliki bentuk spesifik:
Y=a0+a1X
- Y dan X adalah variabel, a0 adalah konstanta/intersep, dan a1 adalah koefisien/parameter.
Fungsi
X disebut juga dengan variabel eksogen, sementara Y disebut juga variabel endogen.
Eksogen → bisa diubah sendiri/independen.
Endogen tidak bisa. Nilai variabel endogen mengikuti perubahan dari variabel eksogen.
Mengubah Y harus dilakukan dengan mengubah X: Kadang X disebut variabel input dan Y variabel output
Bentuk fungsi
- Fungsi spesifik dapat berbentuk apa saja, selama memetakan X menjadi Y.
| Fungsi | Nama |
|---|---|
| Y=ao+a1X | Fungsi linear |
| Y=a0+a1X+a2X2 | Fungsi kuadratik |
| Y=a0+aX1 | Fungsi power/eksponen |
| Y=a1X | Fungsi resiprokal |
| Y=a0+a1lnX | Fungsi logaritma |
Visualisasi
Fungsi umumnya divisualisasikan dalam 2 dimensi menggunakan koordinat kartesian.
Koordinat kartesian merupakan sistem yang dapat memetakan dua buah variabel ke dalam sebuah bidang yang terdiri dari 2 sumbu: sumbu horizontal/absis/x dan sumbu vertikal/ordinat/y.
- bidang ini disebut juga dengan bidang kartesian.
Sebuah titik A di bidang kartesian punya koordinat A=(x,y).
Visualisasi
Ada 6 titik di bidang/diagram kartesian ini:
- A=(5,4)
- B=(4,5)
- C=(3,0)
- D=(0,-1)
- E=(5,-3)
- F=(-5,5)
Visualisasi fungsi
Diagram kartesian cocok digunakan untuk visualisasi fungsi karena punya 2 dimensi.
Umumnya, fungsi Y=f(X) dipetakan menjadi (x,y)
- alias, variabel endogen di sumbu-Y, variabel eksogen di sumbu-X.
Fungsi dipetakan ke diagram kartesian dalam bentuk titik jika X dan Y-nya himpunan bilangan integer.
Kita akan lebih sering pakai bilangan riil.
Bilangan
Kita bisa buat himpunan apa saja dengan huruf apa saja.
Tapi di matematika ada himpunan yang digunakan secara standar.
| simbol | himpunan | elemen |
|---|---|---|
| N | natural / asli | {1,2,3…} |
| Z | integer | {…-3,-2,-1,0,1,2,3,…} |
| R | riil / real | integral tapi ada pecahan/desimal |
Visualisasi
- Katakanlah ada 2 himpunan dengan karakteristik seperti ini:
X={−2,−3,0,2,4}Y={yi | yi=3+2xi}
dapatkah anda menebak elemen dari Y?
note: subscript i (disebut juga index) menyatakan anggota ke-.
cth: x3 anggota himpunan X yang ke-3, yaitu 3.
Visualisasi integer
| i | x | y |
|---|---|---|
| 1 | -2 | -1 |
| 2 | -3 | -3 |
| 3 | 0 | 3 |
| 4 | 2 | 7 |
| 5 | 4 | 11 |
perhatikan bahwa skala untuk sumbu X dan sumbu Y berbeda. Boleh kok.
Visualisasi riil
- Bagaimana untuk himpunan yang anggotanya bilangan riil?
X={xi | −3≤xi≤4,x∈R}Y={yi | yi=3+2xi}
Tentu saja kita akan punya banyak sekali titik karena ada diantara dua bilangan integer ada bilangan riil sejumlah tak hingga
ada berapa bilangan riil antara 0 dan 1?
Visualisasi riil
Visualisasi jika X kita batasi bilangan riil dengan desimal 1 angka di belakang koma.
Semakin banyak desimal yang kita ikutkan, maka akan semakin banyak titiknya.
Kumpulan titik-titik yang banyaknya tak hingga akan menjadi garis
Fungsi linear
Fungsi y=3+2x merupakan fungsi linear karena visualnya membentuk garis lurus.
Kita akan fokus ke fungsi linear.
Gambarnya gambang: cari 2 ditik, lalu hubungkan dgn garis.
Gambar fungsi lain
fungsi linear
Pada fungsi linear y=a0+a1x
konstanta a0 adalah y ketika x=0
koefisien a1 menunjukkan kemiringan garis:
- semakin tinggi a1, semakin miring garisnya.
Hal ini menjadi penting jika kita transformasi fungsinya.
fungsi linear
perubahan konstanta: grafik naik turun, kemiringan tetap.
Perubahan koefisien: grafik muter dgn konstanta sebagai porosnya
fungsi linear
Fungsi linear jika ditambah hanya akan mengubah konstanta.
Jika dikali maka konstanta dan koefisien akan berubah.
Jika ada fungsi y=2+3x:
jika z=y+2, maka z=4+3x, grafik naik 2 unit.
jika z=y×2, maka z=4+12x, grafik naik dan mencuram.
Contoh soal
- Raka bermaksud jualan somay. Untuk itu dia perlu menyewa gerobak somay selama sebulan dan membeli bahan baku somay. Biaya sewa gerobak somay sebulan adalah 1 juta rupiah. Untuk membuat 1 porsi somay, perlu bahan baku senilai 7 ribu rupiah.
- Jika C adalah biaya produksi, buat fungsi biaya (cost function) Raka.
- Jika Raka bermaksud bikin 400 somay sebulan, berapa total costnya?
- Ternyata harga sewa gerobak naik jadi 2 juta rupiah. jika somay tetap 400, berapa total costnya sekarang?
- gambar kurva biaya Raka.
Contoh soal
- Raka bermaksud menjual somay buatannya dengan harga 10 ribu rupiah per porsi.
- R adalah total revenue Raka. Buat fungsi penjualan (revenue function) Raka.
- Jika Raka akhirnya membuat 400 somay, berapa total revenue Raka? Profit (π) berapa?
- Raka nemu 100 ribu. Jika Raka memutuskan ngambil, bagaimana fungsi penjualan Raka jadinya?
- Harus jual berapa somay agar usaha Raka impas (breakeven)? kalo jual 12 ribu?
Jawaban
1a. C=1000+7Q
2a. R=10Q
2b. π=R−C
2d. R=C
10Q=1000+7Q3Q=1000Q=10003
profit if Jual >334 somay.
Last note
Anda sudah belajar fungsi linear, sebuah fungsi paling sederhana.
Di dunia nyata, cost dan profit umumnya lebih ribet daripada fungsi linear seperti ini. Jadi hati-hati bukan berarti anda jadi ahli ngitung profit.
Tapi fungsi ribet-ribet lainnya prinsipnya mirip, cuma gak linear aja.
Ketika gambar di ujian, label di diagram X dan Y cukup yang penting-penting aja, ga harus semua ditulis labelnya.
Fungsi dan penerapannya Pertemuan 3 Matematika & Statistika