Deret dan Angka Indeks
Pertemuan 4
Deret
Deret adalah himpunan yang anggotanya berupa rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah-kaidah tertentu.
Berdasarkan pola perubahannya, deret bisa dibagi jadi 3, yaitu deret hitung, deret ukur dan deret harmonik
harmonik jarang digunakan di ekonomi dan bisnis jadi tidak kita bahas.
Deret hitung
Deret hitung ialah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah suku sebelumnya.
Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret disebut dengan pembeda.
contoh: 7,12,17,22,32 pembeda =5
contoh: 93,83,73,63,53,43 pembeda =−10
Deret hitung
Deret hitung disebut juga dengan deret aritmatika (arithmetic progression)
Bentuk umum deret:
ai=a1+(i−1)d
- a adalah anggota / suku, i adalah index atau suku ke-i, dan d adalah pembeda.
Deret hitung
Misalnya kita punya deret seperti ini
7, 12, 17, 22, 27, 32
Dapat kita ketahui bahwa a1=7 dan d=5.
jika ditanya suku ke 21, maka:
a21=a1+(i−1)d=107
Contoh
Anda berhasil menyisihkan uang jajan anda setiap bulan 500 ribu rupiah untuk menabung.Jika tabungan awal anda adalah 1 juta rupiah, berapa tabungan anda setelah 1 tahun?
diketahui a1=1000 ribu rupiah, d=500 ribu rupiah, n=12
a12=a1+(n−1)d=1000+12×500=1600 ribu rupiah.
Note
Soal seperti di atas (berapa tabungan 12 bulan kemudian) lebih sering ditanyakan.
Di soal seperti itu, tabungan awal (si 1 juta rupiah) biasanya tidak dihitung sebagai anggota ke-1.
“12 bulan kemudian” mengacu ke deret ke-2 sampai ke-13. Karena itu n=13.
Ada juga yg anggap 1 juta bukan termasuk deret, disebut a0, dan n tetap 12.
ai=a0+id
Deret ukur
ialah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian. bilangan yang membedakan suku-suku dari sebuah deret ukur adalah pengali.
Disebut juga dengan deret geometrik (geometric progression) atau growth/pertumbuhan.
5,10,20,40,80 (pengganda =2)
512,256,128,64,32 (pengganda=12)
Deret ukur
- Bentuk umum deret ukur:
ai=a1×pn−1,atau ai=a0×pn
- Misalnya, sebuah deret dengan suku 5,10,20,40,..., berapakah a6?
- a6=5×25=5×32=160
Pertumbuhan
Pengali dalam persen (r) disebut juga pertumbuhan (growth rate)
Misalnya, pertumbuhan PDB, pertumbuhan aset, dan lain-lain.
Jika anda melihat persoalan deret ukur yang diekspresikan dalam persen, rumusnya:
ai=a1×(1+r)n−1,atau ai=a0×(1+r)n
- Pertumbuhan 100% = pertumbuhan 2x lipat.
Contoh
- Negara Wakwaw mengalami pertumbuhan ekonomi sebesar 7% setiap tahunnya. Jika saat ini PDB negara Wakwaw adalah 1000 triliun rupiah, berapa PDB negara Wakwaw 5 tahun lagi?
Jawaban
a6=1000×(1+0.07)5=1402,55
| a | PDB |
|---|---|
| 0 | 1000 |
| 1 | 1070 |
| 2 | 1.144,9 |
| 3 | 1.225,043 |
| 4 | 1.310,8 |
| 5 | 1.402,55 |
Investment decision
Menabung pada dasarnya adalah menyimpan uang untuk dipakai nanti.
Investasi sebaliknya, meminjam uang untuk dipakai sekarang, dibayar nanti.
Dengan konsep bunga, kita dapat mengatur nabung berapa hari ini untuk dapat X rupiah di masa datang.
Sebaliknya, kita juga bisa hitung berapa harus kembalikan uang di masa datang jika kita pinjam X rupiah sekarang.
Present value
Karena menyimpan uang di aset keuangan umumnya mendapatkan bunga, maka uang yang dijanjikan di masa datang bisa kita ukur “nilai masa kini”-nya.
Present value adalah kebalikan dari pertumbuhan.
PV=A(1+r)t
Di mana t adalah tahun.
Contoh
Ada teman ngutang 100ribu dan bilang akan dibalikin di tahun ke-3. Senilai 110ribu. Apakah anda akan meminjamkan uang tersebut jika suku bunga adalah 5%?
untuk menjawabnya, kita harus hitung apakah 110ribu di tahun ke-3 sama nilainya dengan 100ribu sekarang. Jadi perlu dihitung PV dari 110ribu.
PV==95,022 ribu. Berarti gak worth it.
Contoh
Supaya worth it, berapa teman anda harus mengembalikan 100 ribu tersebut di tahun ke-3?
Kita balik PV-nya jadi future value (FV) pakai deret seperti PDB di contoh sebelumnya.
FV=100(1+0,05)^3=115,7625 ribu
Jika anda taruh 100ribu di deposito dengan bunga 5%, 3 tahun kemudian anda dapat 115,76 ribu. Ngapain pinjemin teman anda kalau deposito kasih return lebih?
Angka Index
Inflasi pada prinsipnya adalah pertumbuhan harga: Inflasi 5% berarti harga tahun ini lebih tinggi 5% dibanding tahun lalu.
Gimana ngitungnya? Kan harga barang tuh ada banyak: makanan pokok, snek, listrik, kos-kosan, mobil, sekolah, kesehatan, rokok, dst.
IHSG juga sama: Kan perusahaan di bursa efek ada banyak. Mau tau harga saham yg mana?
Angka Indeks
Angka Indeks adalah sebuah angka representatif dari sekumpulan data yang kita dapatkan dengan menggunakan metode rerata tertimbang.
rerata tertimbang pada prinsipnya mirip expected value.
IHSG tertimbang market cap, CPI tertimbang konsumsi, dst.
Angka indeks biasanya kita gunakan untuk melihat perubahan harga konsumen, perubahan harga saham, dan lain sebagainya.
Angka Indeks untuk menghitung perubahan umumnya memiliki base year atau tahun dasar, dan current year atau tahun kini/tahun berjalan.
Angka Indeks
Untuk angka indeks yang memiliki base year biasanya dihitung dengan menggunakan 3 metode berbeda:
Indeks Laspeyres
Indeks Paasche
Indeks Fisher
Kita ambil contoh Consumer Price Index (CPI):
- merupakan indeks harga yang menimbang keranjang konsumsi masyarakat.
Indeks harga tertimbang
| Item | Q | P | QxP | Share |
|---|---|---|---|---|
| Baju | 10 | 100 | 1000 | 0,061 |
| Nasi | 200 | 10 | 2000 | 0,121 |
| Ayam | 50 | 30 | 1500 | 0,091 |
| Kosan | 12 | 1000 | 12000 | 0,727 |
Harga rata-rata = 100+10+30+10004=285
Harga rata2 tertimbang=∑Share×P=739,93
CPI
CPI Memperhitungkan perubahan harga.
CPI memberi angka pertumbuhan harga tahun t dibandingkan tahun dasar (tahun 0)
Misalnya CPI dengan keterangan (2018=100) itu berarti tahun 2018 adalah tahun dasar.
Indeks perubahan seperti CPI biasanya terdiri dari 3 digit.
Indeks Laspeyres
| Item | Q0 | P0 | Q1 | P1 | Q2 | P2 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Baju | 10 | 100 | 15 | 110 | 15 | 120 |
| Nasi | 200 | 10 | 220 | 12 | 200 | 12 |
| Ayam | 50 | 30 | 50 | 25 | 45 | 30 |
| Kosan | 12 | 1000 | 12 | 1100 | 12 | 1200 |
ILt=∑PtQ0∑P0Q0×100 ; IPt=∑PtQt∑P0Qt×100
Indeks Laspeyres
| Item | Q0 | P0 | Q1 | P1 | Q2 | P2 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Baju | 10 | 100 | 15 | 110 | 15 | 120 |
| Nasi | 200 | 10 | 220 | 12 | 200 | 12 |
| Ayam | 50 | 30 | 50 | 25 | 45 | 30 |
| Kosan | 12 | 1000 | 12 | 1100 | 12 | 1200 |
IL1=1795016500=108,79
Indeks Laspeyres
| Item | Q0 | P0 | Q1 | P1 | Q2 | P2 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Baju | 10 | 100 | 15 | 110 | 15 | 120 |
| Nasi | 200 | 10 | 220 | 12 | 200 | 12 |
| Ayam | 50 | 30 | 50 | 25 | 45 | 30 |
| Kosan | 12 | 1000 | 12 | 1100 | 12 | 1200 |
IP1=1874016500=108,95
IL vs IP
Kelebihan IL: lebih murah/praktis karena kuantitasnya tetap sehingga tidak perlu survey keranjang belanja.
Kekurangan IL: karena keranjang belanja pasti berubah (substitusi, barang baru) sehingga bias atas, harga naik mungkin karena peningkatan kualitas.
Kelebihan IP: Lebih akurat dalam mempertimbangkan keranjang belanja, tidak bias atas.
Kekurangan IP: bias bawah karena pakai keranjang baru, lebih mahal karena survey keranjang dilakukan tiap saat.
Indeks Fisher
- Indeks Fisher mengurangi masalah bias atas dan bawah dari IL dan IP.
IFt=√ILt×IPt
IF1=√108,79×108,95=108,87
Tabel Lengkap
| Indeks | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| Laspeyres | 100 | 108,79 | 118,18 |
| Paasche | 100 | 108,95 | 118,40 |
| Fisher | 100 | 108,87 | 118,29 |
Rumus inflasi: CPIt−CPIt−1CPIt−1×100%
INF1=108,87−100100×100%=8,87%
Mengubah tahun dasar
Ketika statistisi mengubah tahun dasar, maka perhitungan harus diulangi.
Namun bagi pengguna, kita dapat menggunakan rumus:
indeks=indeks tahun kiri baruindeks tahun dasar baru×100
- misalkan gunakan tabel sebelumnya dgn tahun dasar adalah 2018, lalu tahun berikutnya 2019 dan 2020.
Mengubah tahun dasar
| Indeks | 2018 | 2019 | 2020 |
|---|---|---|---|
| Fisher | 100 | 108,87 | 118,29 |
Di mana 2018=100. Jika kita mau ubah ke 2019=100, maka semua angka dibagi 108,87
| Indeks | 2018 | 2019 | 2020 |
|---|---|---|---|
| Fisher | 91.85 | 100 | 108.65 |
Skrg kita bandingkan semua dengan 2019,
Latihan di rumah
Jenis soal angka indeks tidak akan terlalu bervariasi.
Coba hitung semua indeks di soal ini (IL, IP, IF) jika kita pakai 2019=100 dan 2020=100!
