Deret dan Angka Indeks

Pertemuan 4

Matematika & Statistika

Deret

  • Deret adalah himpunan yang anggotanya berupa rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah-kaidah tertentu.

  • Berdasarkan pola perubahannya, deret bisa dibagi jadi 3, yaitu deret hitung, deret ukur dan deret harmonik

  • harmonik jarang digunakan di ekonomi dan bisnis jadi tidak kita bahas.

Deret hitung

  • Deret hitung ialah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah suku sebelumnya.

  • Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret disebut dengan pembeda.

contoh: \(7,12,17,22,32\) pembeda \(=5\)

contoh: \(93, 83, 73,63,53,43\) pembeda \(=-10\)

Deret hitung

  • Deret hitung disebut juga dengan deret aritmatika (arithmetic progression)

  • Bentuk umum deret:

\[ a_i=a_1+(i-1)d \]

  • \(a\) adalah anggota / suku, \(i\) adalah index atau suku ke-\(i\), dan \(d\) adalah pembeda.

Deret hitung

Misalnya kita punya deret seperti ini

7, 12, 17, 22, 27, 32

Dapat kita ketahui bahwa \(a_1=7\) dan \(d=5\).

  • jika ditanya suku ke 21, maka:

  • \(a_21=a_1+(i-1)d=107\)

Contoh

  • Anda berhasil menyisihkan uang jajan anda setiap bulan 500 ribu rupiah untuk menabung.Jika tabungan awal anda adalah 1 juta rupiah, berapa tabungan anda setelah 1 tahun?

  • diketahui \(a_1=1000\) ribu rupiah, \(d=500\) ribu rupiah, \(n=12\)

  • \(a_12=a_1+(n-1)d=1000+12\times 500=1600\) ribu rupiah.

Note

  • Soal seperti di atas (berapa tabungan 12 bulan kemudian) lebih sering ditanyakan.

  • Di soal seperti itu, tabungan awal (si 1 juta rupiah) biasanya tidak dihitung sebagai anggota ke-1.

  • “12 bulan kemudian” mengacu ke deret ke-2 sampai ke-13. Karena itu \(n=13\).

  • Ada juga yg anggap 1 juta bukan termasuk deret, disebut \(a_0\), dan n tetap 12.

\[ a_i=a_0+id \]

Deret ukur

  • ialah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian. bilangan yang membedakan suku-suku dari sebuah deret ukur adalah pengali.

  • Disebut juga dengan deret geometrik (geometric progression) atau growth/pertumbuhan.

  • \(5,10,20,40,80\) (pengganda =2)

  • \(512, 256, 128,64,32\) (pengganda=\(\frac{1}{2}\))

Deret ukur

  • Bentuk umum deret ukur:

\[ a_i=a_1\times p^{n-1}, \text{atau } a_i=a_0\times p^n \]

  • Misalnya, sebuah deret dengan suku \(5,10,20,40,...\), berapakah \(a_6\)?

::: {.incremental}

  • \(a_6=5 \times 2^5=5 \times 32=160\)

Pertumbuhan

  • Pengali dalam persen \((r)\) disebut juga pertumbuhan (growth rate)

  • Misalnya, pertumbuhan PDB, pertumbuhan aset, dan lain-lain.

  • Jika anda melihat persoalan deret ukur yang diekspresikan dalam persen, rumusnya:

\[ a_i=a_1\times (1+r)^{n-1}, \text{atau } a_i=a_0 \times (1+r)^{n} \]

  • Pertumbuhan 100% = pertumbuhan 2x lipat.

Contoh

  • Negara Wakwaw mengalami pertumbuhan ekonomi sebesar 7% setiap tahunnya. Jika saat ini PDB negara Wakwaw adalah 1000 triliun rupiah, berapa PDB negara Wakwaw 5 tahun lagi?

Jawaban

\[a_6=1000 \times (1+0.07)^5=1402,55\]

a PDB
0 1000
1 1070
2 1.144,9
3 1.225,043
4 1.310,8
5 1.402,55

Angka Index

  • Inflasi pada prinsipnya adalah pertumbuhan harga: Inflasi 5% berarti harga tahun ini lebih tinggi 5% dibanding tahun lalu.

  • Gimana ngitungnya? Kan harga barang tuh ada banyak: makanan pokok, snek, listrik, kos-kosan, mobil, sekolah, kesehatan, rokok, dst.

  • IHSG juga sama: Kan perusahaan di bursa efek ada banyak. Mau tau harga saham yg mana?

Angka Indeks

  • Angka Indeks adalah sebuah angka representatif dari sekumpulan data yang kita dapatkan dengan menggunakan metode rerata tertimbang.

    • rerata tertimbang pada prinsipnya mirip expected value.

    • IHSG tertimbang market cap, CPI tertimbang konsumsi, dst.

  • Angka indeks biasanya kita gunakan untuk melihat perubahan harga konsumen, perubahan harga saham, dan lain sebagainya.

  • Angka Indeks untuk menghitung perubahan umumnya memiliki base year atau tahun dasar, dan current year atau tahun kini/tahun berjalan.

Angka Indeks

  • Untuk angka indeks yang memiliki base year biasanya dihitung dengan menggunakan 3 metode berbeda:

    • Indeks Laspeyres

    • Indeks Paasche

    • Indeks Fisher

  • Kita ambil contoh Consumer Price Index (CPI):

    • merupakan indeks harga yang menimbang keranjang konsumsi masyarakat.

Indeks harga tertimbang

Item Q P QxP Share
Baju 10 100 1000 0,061
Nasi 200 10 2000 0,121
Ayam 50 30 1500 0,091
Kosan 12 1000 12000 0,727

  • Harga rata-rata = \(\frac{100+10+30+1000}{4}\)=285

  • Harga rata2 tertimbang=\(\sum Share \times P\)=739,93

CPI

  • CPI Memperhitungkan perubahan harga.

  • CPI memberi angka pertumbuhan harga tahun \(t\) dibandingkan tahun dasar (tahun 0)

  • Misalnya CPI dengan keterangan (2018=100) itu berarti tahun 2018 adalah tahun dasar.

  • Indeks perubahan seperti CPI biasanya terdiri dari 3 digit.

Indeks Laspeyres

Item \(Q_0\) \(P_0\) \(Q_1\) \(P_1\) \(Q_2\) \(P_2\)
Baju 10 100 15 110 15 120
Nasi 200 10 220 12 200 12
Ayam 50 30 50 25 45 30
Kosan 12 1000 12 1100 12 1200

\[ IL_t=\frac{\sum P_t Q_0}{\sum P_0 Q_0} \times 100 \ \ \ ; \ \ IP_t=\frac{\sum P_t Q_t}{\sum P_0 Q_t} \times 100 \]

Indeks Laspeyres

Item \(Q_0\) \(P_0\) \(Q_1\) \(P_1\) \(Q_2\) \(P_2\)
Baju 10 100 15 110 15 120
Nasi 200 10 220 12 200 12
Ayam 50 30 50 25 45 30
Kosan 12 1000 12 1100 12 1200

\[ IL_1=\frac{17950}{16500}=108,79 \]

Indeks Laspeyres

Item \(Q_0\) \(P_0\) \(Q_1\) \(P_1\) \(Q_2\) \(P_2\)
Baju 10 100 15 110 15 120
Nasi 200 10 220 12 200 12
Ayam 50 30 50 25 45 30
Kosan 12 1000 12 1100 12 1200

\[ IP_1=\frac{18740}{16500}=108,95 \]

IL vs IP

  • Kelebihan IL: lebih murah/praktis karena kuantitasnya tetap sehingga tidak perlu survey keranjang belanja.

  • Kekurangan IL: karena keranjang belanja pasti berubah (substitusi, barang baru) sehingga bias atas, harga naik mungkin karena peningkatan kualitas.

  • Kelebihan IP: Lebih akurat dalam mempertimbangkan keranjang belanja, tidak bias atas.

  • Kekurangan IP: bias bawah karena pakai keranjang baru, lebih mahal karena survey keranjang dilakukan tiap saat.

Indeks Fisher

  • Indeks Fisher mengurangi masalah bias atas dan bawah dari IL dan IP.

\[ IF_t=\sqrt{IL_t \times IP_t} \]

\[ IF_1=\sqrt{108,79\times 108,95}=108,87 \]

Tabel Lengkap

Indeks 0 1 2
Laspeyres 100 108,79 118,18
Paasche 100 108,95 118,40
Fisher 100 108,87 118,29

  • Rumus inflasi: \(\frac{CPI_t-CPI_{t-1}}{CPI_{t-1}} \times 100\%\)

  • \(INF_1=\frac{108,87-100}{100}\times 100\%=8,87\%\)

Mengubah tahun dasar

  • Ketika statistisi mengubah tahun dasar, maka perhitungan harus diulangi.

  • Namun bagi pengguna, kita dapat menggunakan rumus:

\[ \text{indeks}=\frac{\text{indeks tahun kiri baru}}{\text{indeks tahun dasar baru}}\times 100 \]

  • misalkan gunakan tabel sebelumnya dgn tahun dasar adalah 2018, lalu tahun berikutnya 2019 dan 2020.

Mengubah tahun dasar

Indeks 2018 2019 2020
Fisher 100 108,87 118,29

Di mana 2018=100. Jika kita mau ubah ke 2019=100, maka semua angka dibagi 108,87

Indeks 2018 2019 2020
Fisher 91.85 100 108.65

Skrg kita bandingkan semua dengan 2019,

Latihan di rumah

  • Jenis soal angka indeks tidak akan terlalu bervariasi.

  • Coba hitung semua indeks di soal ini (IL, IP, IF) jika kita pakai 2019=100 dan 2020=100!