Differensial / Turunan
Pertemuan 5
Diferensial
Diferensial / differential adalah pemahaman berikutnya dari sebuah fungsi.
Diferensial adalah sebuah metode perkiraan linear yang mencoba memperkirakan seberapa besar perubahan sebuah fungsi jika sebuah variabel eksogen berubah.
Diferensial biasanya digunakan untuk menentukan titik maksimum atau titik minimum, tapi juga digunakan untuk mencari elastisitas (dibahas lebih lanjut di ilmu ekonomi).
Perubahan
Jika anda punya fungsi y=f(x) dan Δy adalah perubahan kecil variabel y, sementara Δx adalah perubahan kecil variabel x.
Anda mau tau seberapa besar y berubah jika x berubah. Dengan kata lain, seberapa besar Δy given Δx.
ΔyΔx=f(x+Δx)−f(x)Δx
Contoh
Ada fungsi y=3x2−x. Tentukan perubahan dari y jika x naik dari 2 jadi 3.
jika x=2, y=3(2)2−(2)=10
Jika x=3, y=3(3)2−(3)=24
Artinya, Δy=24−10=14
Turunan
pertanyaan di atas bisa kita aproksimasi dengan menggunakan turunan / diferensial.
Turunan adalah cara cepat melakukan aproksimasi jika perubahan pada x itu sangat kecil. Saking kecilnya sampe mendekati 0.
Jika anda berhadapan dengan fungsi yang rumit, maka diferensial akan sangat menguntungkan.
Kita akan kembali ke soal di atas, tapi kita pelajari dulu kaidah-kaidah diferensial.
Kaidah turunan
Diferensiasi konstanta: Jika sebuah fungsi adalah sebuah konstanta, maka diferensialnya 0.
if y=3, then dydx=0
Diferensiasi umum: Jika y=axn, maka dydx=naxn−1. Note bahwa a boleh =1.
if y=4x3, then dydx=3⋅4x3−1=dydx=12x2
Kaidah turunan
diferensiasi eksponen: jika y=aen, maka dydx=yaen
if y=4ex,then dydx=4ex
diferensiasi logaritmik natural: jika y=alnx, maka dydx=ax
if y=lnx, then dydx=1x
Kaidah lain
ada banyak kaidah turunan, tapi cukup 4 itu aja yang kita perlukan di level ini.
Mari kita kembali ke contoh sebelumnya dan selesaikan dengan diferensial.
Contoh
Ada fungsi y=3x2−x. Tentukan perubahan dari y jika x naik dari 2 jadi 3.
dydx=6x−1
dy=(6x−1)(dx)
dy=(6(2)−1)(1)=11
Diferensial
Kalo pake cara delta, dapet 14. pake turunan, dapet 11. Kok beda?
Ini karena turunan adalah aproksimasi linear: jika fungsi aslinya nggak linear, maka aproksimasinya akan kurang akurat.
semakin besar ΔX, semakin kurang akurasinya.
Tapi perkiraannya lebih baik daripada ga punya informasi apa-apa.
Fungsi linear
Ada fungsi y=3x−2. Tentukan perubahan dari y jika x naik dari 2 jadi 3.
dydx=3
Karena fungsinya linear, jadinya: jika x naik 1, maka y akan naik 3.
Coba hitung ulang jika x naik dari 2 jadi 5
Somay
- Inget contoh Raka, di mana dia punya fungsi biaya dan fungsi pendapatan:
$$
- Apa yang terjadi kalo kita aplikasikan turunan?
Somay
dCdQ=7dRdQ=10
artinya, jika somay bertambah 1, maka:
cost bertambah 7
revenue bertambah 10
Ini disebut juga dengan dampak marjinal / marginal effect
Marginal effect
Di persamaan linear, koefisien menjadi hasil dari turunannya.
Inilah kenapa koefisien dalam fungsi linear disebut juga dengan dampak marjinal.
- dan inilah juga kenapa koefisien biasanya lebih penting buat kita daripada konstanta.
Koefisien fungsi linear bisa dianggap sebagai nilai perubahan y jika x berubah sebesar 1 unit.
Marginal effect
Dalam ekonomi, marginal effect ini sering sekali muncul, misalnya:
marginal cost (MC) dan marginal revenue (MR).
elastisitas: seberapa besar permintaan/penawaran berubah jika harga berubah
Semua ini akan kita bahas lebih lanjut di ilmu ekonomi.
Fungsi kuadratik
- Jika anda menemukan permasalahan yang mengikuti fungsi kuadratik, turunan dapat memberikan anda titik maksimum dan titik minimum.
-Sebuah fungsi kuadratik akan memiliki titik maksimum jika turunan pertama=0 dan turunan ke-2 bernilai negatif
-Sebuah fungsi kuadratik akan memiliki titik minimum jika turunan pertama=0 dan turunan ke-2 bernilai positif
Contoh
Seandainya fungsi pendapatan dan fungsi biaya somay Raka adalah seperti berikut:
R=100QC=2Q2−200Q+10000
Carilah Q di mana: (a) biayanya optimal, (b) apakah Q di (a) itu maksimal atau minimal?, (c) profitnya minimal/maksimal
Contoh
- Q di mana C ada di titik optimal:
$$
Contoh
- Apakah Q=50 titik maksimum atau minimum?
$$
Karena turunan ke-2 positif, maka 50 adalah jumlah somay yang meminimalisir biaya.
Contoh
- mencari Q yang memaksimalkan profit:
π=R−Cπ=100Q−2Q2+200Q−10000π=−2Q2+300Q−10000π′=−4Q+300,buat =0 untuk optimumQ=75
Contoh
Apakah Q=75 itu titik maksimum atau minimum?
π=−2Q2+300Q−10000π′=−4Q+300π″=−4<0
Karena turunan ke-2 nya negatif, berarti Q=300 adalah titik maksimal.
Cost dan profit
Cost akan minimal jika Q=50. Berapa costnya?
C=2(50)2−200(50)+10000C=5000
Profit akan maksimal jika Q=75. berapa profitnya?
π=−2(75)2+300(75)−10000π=1250
Kurva cost dan revenue
Kurva profit
