Differensial / Turunan

Pertemuan 5

Matematika & Statistika

Diferensial

  • Diferensial / differential adalah pemahaman berikutnya dari sebuah fungsi.

  • Diferensial adalah sebuah metode perkiraan linear yang mencoba memperkirakan seberapa besar perubahan sebuah fungsi jika sebuah variabel eksogen berubah.

  • Diferensial biasanya digunakan untuk menentukan titik maksimum atau titik minimum, tapi juga digunakan untuk mencari elastisitas (dibahas lebih lanjut di ilmu ekonomi).

Perubahan

  • Jika anda punya fungsi \(y=f(x)\) dan \(\Delta y\) adalah perubahan kecil variabel y, sementara \(\Delta x\) adalah perubahan kecil variabel x.

  • Anda mau tau seberapa besar \(y\) berubah jika \(x\) berubah. Dengan kata lain, seberapa besar \(\Delta y\) given \(\Delta x\).

\[ \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \]

Contoh

Ada fungsi \(y=3x^2-x\). Tentukan perubahan dari y jika x naik dari 2 jadi 3.

  • jika \(x=2\), \(y=3(2)^2-(2)=10\)

  • Jika \(x=3\), \(y=3(3)^2-(3)=24\)

  • Artinya, \(\Delta y=24-10=14\)

Turunan

  • pertanyaan di atas bisa kita aproksimasi dengan menggunakan turunan / diferensial.

  • Turunan adalah cara cepat melakukan aproksimasi jika perubahan pada \(x\) itu sangat kecil. Saking kecilnya sampe mendekati 0.

  • Jika anda berhadapan dengan fungsi yang rumit, maka diferensial akan sangat menguntungkan.

  • Kita akan kembali ke soal di atas, tapi kita pelajari dulu kaidah-kaidah diferensial.

Kaidah turunan

Diferensiasi konstanta: Jika sebuah fungsi adalah sebuah konstanta, maka diferensialnya 0.

\[ \text{if }y=3, \ \text{then } \frac{dy}{dx}=0 \]

Diferensiasi umum: Jika \(y=ax^n\), maka \(\frac{dy}{dx}=nax^{n-1}\). Note bahwa a boleh =1.

\[ \text{if }y=4x^3, \ \text{then } \frac{dy}{dx}=3\cdot 4x^{3-1}=\frac{dy}{dx}=12x^2 \]

Kaidah turunan

diferensiasi eksponen: jika \(y=ae^n\), maka \(\frac{dy}{dx}=yae^n\)

\[ \text{if } y=4e^x, \text{then } \ \frac{dy}{dx}=4e^x \]

diferensiasi logaritmik natural: jika \(y=a \ln x\), maka \(\frac{dy}{dx}=\frac{a}{x}\)

\[ \text{if }y= \ln x, \text{ then } \frac{dy}{dx}=\frac{1}{x} \]

Kaidah lain

  • ada banyak kaidah turunan, tapi cukup 4 itu aja yang kita perlukan di level ini.

  • Mari kita kembali ke contoh sebelumnya dan selesaikan dengan diferensial.

Contoh

Ada fungsi \(y=3x^2-x\). Tentukan perubahan dari y jika x naik dari 2 jadi 3.

  • \(\frac{dy}{dx}=6x-1\)

  • \(dy=(6x-1)(dx)\)

  • \(dy=(6(2)-1)(1)=11\)

Diferensial

  • Kalo pake cara delta, dapet 14. pake turunan, dapet 11. Kok beda?

  • Ini karena turunan adalah aproksimasi linear: jika fungsi aslinya nggak linear, maka aproksimasinya akan kurang akurat.

  • semakin besar \(\Delta X\), semakin kurang akurasinya.

  • Tapi perkiraannya lebih baik daripada ga punya informasi apa-apa.

Fungsi linear

Ada fungsi \(y=3x-2\). Tentukan perubahan dari y jika x naik dari 2 jadi 3.

  • \(\frac{dy}{dx}=3\)

  • Karena fungsinya linear, jadinya: jika x naik 1, maka y akan naik 3.

  • Coba hitung ulang jika x naik dari 2 jadi 5

Somay

  • Inget contoh Raka, di mana dia punya fungsi biaya dan fungsi pendapatan:
$$ \[\begin{aligned} C&=1000+7Q \\ R&=10Q \end{aligned}\]

$$

  • Apa yang terjadi kalo kita aplikasikan turunan?

Somay

\[ \frac{dC}{dQ}=7 \\ \frac{dR}{dQ}=10 \]

  • artinya, jika somay bertambah 1, maka:

    • cost bertambah 7

    • revenue bertambah 10

  • Ini disebut juga dengan dampak marjinal / marginal effect

Marginal effect

  • Di persamaan linear, koefisien menjadi hasil dari turunannya.

  • Inilah kenapa koefisien dalam fungsi linear disebut juga dengan dampak marjinal.

    • dan inilah juga kenapa koefisien biasanya lebih penting buat kita daripada konstanta.

  • Koefisien fungsi linear bisa dianggap sebagai nilai perubahan \(y\) jika \(x\) berubah sebesar 1 unit.

Marginal effect

  • Dalam ekonomi, marginal effect ini sering sekali muncul, misalnya:

    • marginal cost (MC) dan marginal revenue (MR).

    • elastisitas: seberapa besar permintaan/penawaran berubah jika harga berubah

  • Semua ini akan kita bahas lebih lanjut di ilmu ekonomi.

Fungsi kuadratik

  • Jika anda menemukan permasalahan yang mengikuti fungsi kuadratik, turunan dapat memberikan anda titik maksimum dan titik minimum.

-Sebuah fungsi kuadratik akan memiliki titik maksimum jika turunan pertama=0 dan turunan ke-2 bernilai negatif

-Sebuah fungsi kuadratik akan memiliki titik minimum jika turunan pertama=0 dan turunan ke-2 bernilai positif

Contoh

Seandainya fungsi pendapatan dan fungsi biaya somay Raka adalah seperti berikut:

\[ \begin{aligned} R&=100Q \\ C&=2Q^2-200Q+10000 \end{aligned} \]

Carilah \(Q\) di mana: (a) biayanya optimal, (b) apakah Q di (a) itu maksimal atau minimal?, (c) profitnya minimal/maksimal

Contoh

  1. \(Q\) di mana \(C\) ada di titik optimal:
$$ \[\begin{aligned} C&=2Q^2-200Q+10000 \\ C'&=4Q-200 \ \text{, buat C'=0 untuk dapat titik optimal} \\ 4Q-200&=0\\ Q&=50 \end{aligned}\]

$$

Contoh

  1. Apakah \(Q=50\) titik maksimum atau minimum?
$$ \[\begin{aligned} C&=\frac{1}{2}Q^2-200Q+10000 \\ C'&=Q-200 \\ C''&=1 >0 \end{aligned}\]

$$

Karena turunan ke-2 positif, maka 50 adalah jumlah somay yang meminimalisir biaya.

Contoh

  1. mencari \(Q\) yang memaksimalkan profit:

\[ \begin{aligned} \pi&=R-C \\ \pi&=100Q-2Q^2+200Q-10000 \\ \pi&=-2Q^2+300Q-10000 \\ \pi'&=-4Q+300,\text{buat =0 untuk optimum} \\ Q&=75 \end{aligned} \]

Contoh

Apakah Q=75 itu titik maksimum atau minimum?

\[ \begin{aligned} \pi&=-2Q^2+300Q-10000 \\ \pi'&=-4Q+300 \\ \pi''&=-4<0 \end{aligned} \]

Karena turunan ke-2 nya negatif, berarti Q=300 adalah titik maksimal.

Cost dan profit

Cost akan minimal jika \(Q=50\). Berapa costnya?

\[ \begin{aligned} C&=2(50)^2-200(50)+10000 \\ C&=5000 \end{aligned} \]

Profit akan maksimal jika \(Q=75\). berapa profitnya?

\[ \begin{aligned} \pi&=-2(75)^2+300(75)-10000 \\ \pi&=1250 \end{aligned} \]

Kurva cost dan revenue

Kurva profit